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认识数学问题的本质探究简捷的方法

时间:2015-8-3栏目:数学论文

  认识数学问题的本质探究简捷的方法

  钱桂保

  (江苏省南京市临江高级中学,江苏南京210000)

  摘要:对数学中的基本概念、性质、公式、定理等的深入理解,弄清数学概念、知识间的内在关联,是数学问题解决的必不可少的前提。解题的过程也是在探究命题人在题干中给出的函数模型产生的过程,通过这种探究体验到考题命制的源与流,感受到了数学的魅力。

  关键词:数学问题;解题;探究方法

  数学问题的解决需要综合运用数学基础知识,如运用数学中的基本概念、性质、公式、定理等,并进行合理的判断、推理、演算,因此,对数学中的基本概念、性质、公式、定理等的深入理解,弄清数学概念、知识间的内在关联,是数学问题解决的必不可少的前提。随着学习的深入,理解的深度加深,必然会对问题顺利、快速解决有积极的影响,理解越是深刻,产生的解法越简单。

  例1.已知函数f(x)=x2+x+a,(a>0),若f(m)<0,试判断f(m+1)的符号?

  解法一:∵f (m)<0,代入得:m2+m+a<0,即∴m2+m<-a,因为a>0,所以m2+m<0,解得-1<m<0。∴m+1>0而(f m+1)=(m+1)2+(m+1)+a,其中的每一项均大于0,∴f(m+1)>0,即f(m+1)的符号是正。

  上述的解法实质是通过f(m+1)的表达式的符号判断的,但这种解法并不能刻画此题的背景和实质,那么这题的本质究竟是什么呢?我们来看解法二。

  解法二:若设f(x)=x2+x+a≤0的解集为A,那么由f(m)<0知m∈A,而要判断f(m+1)的符号就相当于判断m+1是否是集合A中的元素。

 

  既然认识到了本题的实质就是判断m+1与解集A的关系,那么有没有更加直观、更加简洁的解法呢?若能直接判断数m+1与解集A的归属关系,那无疑是最简单的方法了,正因如此让我们想到数形结合。

  解法三:如下图所示,由于f(x)=x2+x图像与x轴交点之间的距离MO=1,∵a>0∴f(x)=x2+x+a图像与x轴交点之间的距离AB<1,由于f(m)<0知:m在区间(A,B)之间,但m+1必在B右边,因此:f(m+1)>0,即f(m+1)的符号是正。

认识数学问题的本质探究简捷的方法

  由上可以知道,抓好基本概念的理解,了解其内涵和外延,积极探索数学命题的本质,随着我们对命题的理解的深刻,必然就会产生更加简单的解法。

  例2:在等差数列{an}中,若它的前m项的和Sm=Sn,(m≠n),试求Sm+n的值。

  初看本题,涉及到等差数列概念,自然想到用基本量来解决,即:

  解法一:∵{an}是等差数列,且首项为a1,不妨设其公差为d,

认识数学问题的本质探究简捷的方法

  诚然,用基本量的方法解决等差或等比数列是一种通性通法,思路自然,结果正确,但计算较为烦琐。若要探讨它有没有更加简单的解法,这就需要我们对本题的本质更加深刻的理解。事实上,本题的本质并不是等差数列概念,而是对等差数列的若干项和的认识,若对等差数列的前n项和的认识深刻些,如解法二,显然过程自然简单些,计算量也小一些了。

  解法二:设Sn=An2+Bn,Sm=Am2+Bm,

  ∴Sn-Sm=(An2+Bn)-(Am2+Bm)=(n-m)[A(n+m)+B]=0

  即A(n+m)+B=0

  而Sm+n=(m+n)[A(n+m)+B],∴Sm+n=0。

  本题主要是针对等差数列前n项和Sn=An2+Bn的结构特点进行计算,明显简单。若换一个角度来审视Sn=An2+Bn这一表达式,就会产生出新的解法来,即:

 

  解法三:若考察相对应的函数Sn=Ax2+Bx,

  ∵Sm=Sn,它的对称轴是x= m+n/2,又∵函数Sn(x)的图像过坐标原点(0,0),∴它必过另一点(m+n,0),即Sm+n=0.

  解法三实质上是采用数形结合思想方法进行探究的一种解法,过程明显简洁快捷。通过上述几种不同解法中,不难发现,随着对本题的本质Sn认识的深刻,由此产生的解法也更加简单些,可见,不同的思维层次,所产生的解题方法也不同,理解越深刻,解法也就越简单。

  通过上面的论述,对我们的学习有所启示,有所触动,这就是我们要加强理解,不能停留在概念的表面,还要加强理解的深入,认识到概念的本质,既要纵向,还要横向,例如高中数学教材中P的不等式题,我们一起来横向理解这道题所蕴含的函数本质。

  例3.已知a,b,m都是正数,且a<b,求证认识数学问题的本质探究简捷的方法

  这道题的生活背景大家都很清楚,即“杯子里装有b克糖水,其中含有a克糖的,若在糖水里再添加m克糖(假设全部融解),那么糖水将会变得更甜”这一变化的一种数学反映,本题的证明,既可用分析法,还可构造斜率加以证明,这里不再赘述。

  下面我们讨论对此题所蕴含的函数本质的探讨。我们知道,不等式(或方程)与函数是密切相关,紧密联系的,用函数的观点解决不等式(或方程)是一种普遍的思维模式,如何揭示出此题所给的不等式与某个函数间的超级链接,是这一解法的关键。显然这个等
认识数学问题的本质探究简捷的方法

  由此可见,这种用函数证明不等式的解法,需要对相应函数的深入认识。以后在解题过程中遇到类似的不等式证明问题,可以通过横向的对应函数加以深入研究,探究相应不等式的问题的有效解决。

  由于变量的选取是自主的,因此相对应的函数的构造可能不止一种,其表达的形式也是多样的,但最终结果却是一致的,这在证法一、证法二中得到体现。事实上,解题的过程也是在探究命题人在题干中给出的函数模型产生的过程,通过这种探究体验到考题命制的源与流,感受到了数学的魅力!

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